\subsection{等可能性事件的概率}\label{subsec:3-2}

随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值。但对于某些随机事件，
也可以不通过重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。


例如，掷一枚均匀的硬币，它要么出现正面，要么出现反面，出现这两种结果的可能性是相等的。
因此，可以认为出现正面的概率是 $\dfrac{1}{2}$，出现反面的概率也是$\dfrac{1}{2}$。
这和大量重复试验的结果是一致的。有人做过掷一枚均匀硬币的大量重复试验，结果硬币出现正面
的频率总是接近于 $\dfrac{1}{2}$， 在它附近摆动。其中当掷币 $24000$ 次时，
硬币出现正面 $12012$ 次，其频率为 $0.5005$。


又如，有 $10$ 个型号相同的杯子，其中一等品 $6$ 个，二等品 $3$ 个，三等品 $1$ 个。
从中任取 $1$ 个，取到各个杯子的可能性是相等的。由于是从 $10$ 个杯子中任取 $1$ 个，
共有 $10$ 种等可能的结果。又由于其中有 $6$ 个一等品，从这 $10$ 个杯子中取到一等品
的结果有 $6$ 种。因此，可以认为取到一等品的概率是 $\dfrac{6}{10}$。
同理，可以认为取到二等品的概率是 $\dfrac{3}{10}$，取到三等品的概率是 $\dfrac{1}{10}$。
这和大量重复试验的结果也是一致的。

一般地，\textbf{如果一次试验中共有 $n$ 种等可能出现的结果，其中事件 $A$ 包含的结果有 $m$ 种，
那么事件 $A$ 的概率 $P(A)$ 是 $\dfrac{m}{n}$。}



\liti 先后抛掷两枚均匀的硬币，计算：\mylabel{li-ti-1}

(1) 两枚都出现正面的概率；

(2) 一枚出现正面、一枚出现反面的概率。

分析：抛掷一枚硬币，可能出现正面或反面这两种结果。因而先后抛掷两枚硬币可能出现的结果数，
可根据乘法原理得出。由于硬币是均匀的，所有结果出现的可能性都相等。
又在所有等可能的结果中，两枚都出现正面这一事件包含的结果数是可以知道的，从而可以求出这个事件的概率。
同样，一枚出现正面、一枚出现反面这一事件包含的结果数是可以知道的，从而也可求出这个事件的概率。

\jie 由乘法原理，先后抛掷两枚硬币可能出现的结果共有$2 \times 2 = 4$ 种（图 \ref{fig:3-1}），
且这 $4$ 种结果出现的可能性都相等。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds3-ch3-2-coin}
    \caption{}\label{fig:3-1}
\end{figure}


(1) 记“抛掷两枚硬币，都出现正面”为事件 $A$，那么在上面 $4$ 种结果中，事件 $A$ 包含的结果有 $1$ 种，
因此事件 $A$ 的概率
$$ P(A) = \dfrac{1}{4} \text{。} $$

答：两枚都出现正面的概率是 $\dfrac{1}{4}$ 。

(2) 记“抛掷两枚硬币，一枚出现正面、一枚出现反面” 为事件 $B$ 。
那么事件 $B$ 包含的结果有 $2$ 种， 因此事件 $B$ 的概率
$$ P(B) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \text{。} $$

答：一枚出现正面、一枚出现反面的概率是 $\dfrac{1}{2}$ 。


\liti 在 $100$ 件产品中，有 $95$ 件合格品，$5$ 件次品。从中任取 $2$ 件，计算：

(1) $2$ 件都是合格品的概率；

(2) $2$ 件都是次品的概率；

(3) $1$ 件是合格品、$1$ 件是次品的概率。

分析：从 $100$ 件产品中任取 $2$ 件可能出现的结果数，就是从 $100$ 个元素中任取 $2$ 个的组合数。
由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都相等。又由于在所有产品中有 $95$ 件合格品、$5$ 件次品，
取到 $2$ 件合格品的结果数，就是从 $95$ 个元素中任取 $2$ 个的组合数；
取到 $2$ 件次品的结果数，就是从 $5$ 个元素中任取 $2$ 个的组合数；
取到 $1$ 件合格品、$1$ 件次品的结果数，就是从 $95$ 个元素中任取 $1$ 个元素的组合数与从 $5$ 个元素中任取 $1$ 个元素的组合数的积，
从而可以分别得到所求各个事件的概率。

\jie (1)  从 $100$ 件产品中任取 $2$ 件，可能出现的结果共有 $C_{100}^2$种，
且这些结果出现的可能性都相等。又在 $C_{100}^2$ 种结果中，取到 $2$ 件合格品的结果有 $C_{95}^2 $种。
记“任取 $2$ 件，都是合格品”为事件 $A$，那么事件 $A$ 的概率
$$ P(A) = \dfrac{C_{95}^2}{C_{100}^2} = \dfrac{893}{990} \text{。} $$

答：$2$ 件都是合格品的概率为 $\dfrac{893}{990}$。


(2) 记 “任取 $2$ 件，都是次品” 为事件 $B$。由于在 $C_{100}^2$ 种结果中，
取到 $2$ 件次品的结果有 $C_5^2$ 种，事件 $B$ 的概率
$$ P(B) = \dfrac{C_5^2}{C_{100}^2} = \dfrac{1}{495} \text{。} $$

答：$2$ 件都是次品的概率为 $\dfrac{1}{495}$。


(3) 记 “任取 $2$ 件，$1$ 件是合格品、$1$ 件是次品” 为事件 $C$。
由于在 $C_{100}^2$ 种结果中，取到 $1$ 件合格品、$1$ 件次品的结果有
$C_{95}^1 \cdot C_5^1$ 种，事件 $C$ 的概率
$$ P(C) = \dfrac{C_{95}^1 \cdot C_5^1}{C_{100}^2} = \dfrac{19}{198} \text{。} $$

答：$1$ 件是合格品、$1$ 件是次品概率为 $\dfrac{19}{198}$。



\liti 某号码锁有 $6$ 个拨盘，每个拨盘上有从 $0$ 到 $9$ 共十个数字。
当 $6$ 个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码（开锁号码）时，锁才能打开。
如果不知道开锁号码，试开一次就把锁打开的概率是多少？

分析：号码锁每个拨盘上的数字，从 $0$ 到 $9$ 共有十个。
$6$ 个拨盘上的各一个数字排在一起，就是一个六位数字号码。
根据乘法原理，这种号码共有 $10^6$ 个。
由于不知道开锁号码，试开时采用每一个号码的可能性都相等。
又开锁号码只有一个，从而可以求出试开一次就把锁打开的概率。

\jie 号码锁每个拨盘上的数字有 $10$ 种可能的取法。
根据乘法原理， $6$ 个拨盘上的数字组成的六位数字号码共有 $10^6$个。
又试开时采用每一个号码的可能性都相等，且开锁号码只有一个，
所以试开一次就把锁开的概率
$$ P = \dfrac{1}{10^6} \text{。} $$

答：试开一次就把锁打开的概率是 $\dfrac{1}{10^6}$。



\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{（ 口答）在 $40$ 根纤维中，有 $12$ 根的长超过 $30$ 毫米。
    从中任取 $1$ 根，取到长度超过 $30$ 毫米的纤维的概率是多少？}

\xiaoti{在 $10$ 支铅笔中，有 $8$ 支正品和 $2$ 支副品。从中任取 $2$ 支，
    恰好都取到正品的概率是多少？}

\xiaoti{对于第 \pageref{li-ti-1} 页 例 1 ，有人说，先后抛掷枚硬币，共出现
    “两枚都是正面”，“两枚都是反面”，“一枚正面、一枚反面” 等 $3$ 种结果，
    因此，“两枚都出现正面” 这一事件的概率是 $\dfrac{1}{3}$。这种说法错在哪里？
}

\end{xiaotis}

